Corolla Kombi BJ 2003 E12T ZV Fernbedienung ohne Funktion

Hallo!

Ich habe besagten Corolla 1.6 VVTI geerbt (echt!).

Das Auto lag 1,5 Jahr still, aber außer toter Batterie gab's eigentlich keine Probleme.

ABER: Nach Einbau der neuen Kfz-Batterie funktionierte die ZV FB immer noch nicht.

Deshalb folgende Fragen:
Die FB hat zwei Tasten (auf, zu) und eine LED.
Die LED leuchtet NIE. FB-Batterie habe ich geprüft/erneuert.

Frage 1: Gehe ich richtig in der Annahme, dass die LED bei jedem Tastendruck leuchten sollte?
Frage 2: Gibt es bei dieser FB ein bekanntes und von mir behebbares Problem, wenn die LED nicht leuchtet (z.B. Kontakte unter den Tastern oxidiert o.ä.) ?
Frage 3: Falls ich eine Ersatz FB brauche, was ist der kostengünstigste Weg? Gibt es da irgend etwas gebrauchtes, das man umprogrammieren könnte?

Viele Grüße,
Martin Müller